不定积分与定积分的区别

1、定义不同

在微积分中，定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a,b]上积分和的极限。

在微积分中，一个函数f?的不定积分，也称作反导数，是一个导数f的原函数?F?，即F′=f。

2、实质不同

若定积分存在，则是一个具体的数值（曲边梯形的面积）。

不定积分实质是一个函数表达式。

三大积分方法：

1、积分公式法

直接利用积分公式求出不定积分。

2、换元积分法

换元积分法可分为第一类换元法与第二类换元法。第一类换元法（即凑微分法），通过凑微分，最后依托于某个积分公式，进而求得原不定积分。

第二类换元法经常用于消去被积函数中的根式。当被积函数是次数很高的二项式的时候，为了避免繁琐的展开式，有时也可以使用第二类换元法求解。常用的换元手段有两种：根式代换法和三角代换法。

3、分部积分法

设函数和u，v具有连续导数，则d(uv)=udv+vdu；移项得到udv=d(uv)-vdu，两边积分，得分部积分公式∫udv=uv-∫vdu。如果积分∫vdu易于求出，则左端积分式随之得到。

定积分和不定积分举例

定积分是积分的一种，是函数f(x)在区间[a，b]上积分和的极限。

在微积分中，一个函数f的不定积分，或原函数，或反导数，是一个导数等于f的函数F，即F′ =f。

不定积分运算没有乘法运算法则，只有基本公式法，第一类换元积分，第二类换元积分，分部积分等。

1、积分公式法：直接利用积分公式求出不定积分。

2、第一类换元法（即凑微分法）：通过凑微分，最后依托于某个积分公式。进而求得原不定积分。

相关信息：

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。

定理1：设f(x)在区间[a，b]上连续，则f(x)在[a，b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a，b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a，b]上单调，则f(x)在[a，b]上可积。

定积分和不定积分符号区别

不定积分∫f(x)dx=F(x)+C，表示被积函数f(x)所有的原函数，是一个原函数的集合；

定积分∫（上限b,下限a）f(x)dx是一种和式的极限，是一个数，这个数的大小由被积函数f(x)和积分区间[a,b]所确定。

例如

∫cosx

dx

=

sinx

+

C

而

∫（上限π/2,下限0）cosx

dx

=

1

怎么判断定积分和不定积分

对于一个函数 f(x)，如果存在另一个函数 F(x)，使得 F'(x)=f(x)，那么 f(x) 就是可以求出定积分的，也就是说，f(x) 是可积的。因此，我们可以通过求出 F(x) 来判断一个函数是否是可积的。

另外，对于一个函数 f(x)，如果其不满足上述条件，即不存在另一个函数 F(x) 使得 F'(x)=f(x)，那么 f(x) 就是不可积的，或者说是不定积分。

一般来说，如果一个函数是连续的并且具有有限的区间内的值，那么这个函数就是可积的，否则就是不可积的。但是，也有一些特殊情况，即使函数不连续也是可积的，比如调和级数。

不定积分和定积分的区别与联系

1、不定积分和定积分的区别是定积分确切的说是一个数,或者说是关于积分上下限的二元函数,也可以成为二元运算,不定积分也可以看成是一种运算,但最后的结果不是一个数,而是一类函数的集合.不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减。

2、在应用上，积分作用不仅如此，它被大量应用于求和，通俗的说是求曲边三角形的面积，这巧妙的求解方法是积分特殊的性质决定的。一个函数的不定积分（亦称原函数）指另一族函数，这一族函数的导函数恰为前一函数。

3、定积分与不定积分的运算法则相同，并且积分公式，计算方法也相同。从牛顿-莱布尼茨公式看出，定积分与不定积分联系紧密，相互转换共用。

黎曼积分

定积分的正式名称是黎曼积分。用黎曼自己的话来说，就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间[a,b]上的矩形累加起来，所得到的就是这个函数的图象在区间[a,b]的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.

我们可以看到，定积分的本质是把图象无限细分，再累加起来，而积分的本质是求一个导函数的原函数